Analytische Geometrie: Eine Einführung für Studienanfänger by Gerd Fischer

By Gerd Fischer

Dieser Band enthält Anwendungen der linearen Algebra auf geometrische Fragen. Ausgehend von affinen Unterräumen in Vektorräumen werden allgemeine affine Räume eingeführt, und es wird gezeigt, wie sich geometrische Probleme mit algebraischen Hilfsmitteln behandeln lassen. Ein Kapitel über lineare Optimierung befaßt sich mit Systemen linearer Ungleichungen. Mit Hilfe der elementaren Theorie konvexer Mengen kann guy die Optimierung eines linearen Funktionals auf die Lösung linearer Gleichungssysteme zurückführen. Anschließend wird der für praktische Anwendungen so wichtige Simplex-Algorithmus abgeleitet. Besonderer Wert wird dabei auf einen Einblick in die geometrischen Zusammenhänge gelegt. Durch den projektiven Abschluß affiner Räume enthält guy den angemessenen Rahmen für das Studium von Sätzen aus der klassischen Geometrie. Durch viele Zeichnungen, Beispiele und Übungsaufgaben wird versucht, das Lesers Liebe zur Geometrie zu vertiefen.

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Der affine Raum 1A 3(K) enthiilt 8 Punkte, also gibt es 8! = 40 320 bijektive Abbildungen von 1A2 (K) Wie man leicht nachrechnet, besteht GL(3; K) aus 7·6'4 = 168 Matrizen, also gibt es 8 . 168 = 1344 Affinitaten von 1A3(K) somit 38976 Kollineationen, die nicht affm sind. 4. A. 4). (X,W also wieder eine Gerade und somit ist f eine Kollineation. Offensichtlich ist f nicht affin. 2. 1 charakteristisch sind fUr die Faile, in denen der Hauptsatz der affmen Geometrie nicht gilt. Das gro~te Hindernis sind bijektive Abbildungen des Grundkorpers auf sich, die die Eigenschaften der komplexen Konjugation besitzen (Beispiel 4).

8 ist T (Y) = span (iloCi I , ... 2. Affine Koordinaten Also liegt ein Punkt q E X genau dann in Y, wenn es AI, ... , Am E K gibt mit (*) Ci;;

Eine Dilatation mit Faktor X *- 0, 1 hat genau einen Fixpunkt. Beweis. 1st X =Kn , so haben wir f(x) = b + Ax und 1 x:=--b I-X ist der eindeutig bestimmte Fixpunkt. 25 Das kann man auch ohne Koordinaten beweisen. Angenommen, Po E X sei ein Fixpunkt von f. h. 1--+ = 1 _ X p f(p) (*) Also gibt es hochstens einen Fixpunkt Po. 25). Ubungsaufgabe 1. Eine Dilatation mit zwei verschiedenen Fixpunkten ist die Identitat. Ubungsaufgabe 2. Sei f: X ..... X eine Affinit1it. fist genau dann Dilatation, wenn fur jede Gerade Y C X die Bildgerade feY) parallel zu Y ist.

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