Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, by Manfred Dobrowolski

By Manfred Dobrowolski

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen Sätze näher gebracht, die für die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausführlich die Sobolevschen Funktionenräume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularitätstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgfältig ausgewählte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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10. (L(X, Y ), · X→Y ) ist ein normierter Raum. Wenn Y ein Banach-Raum ist, so ist auch L(X, Y ) ein Banach-Raum. Beweis. L(X, Y ) ist offenbar Vektorraum mit der Nullabbildung 0 : y → 0. Die Homogenit¨at der Norm folgt aus αT x Y = |α| T x Y und die Dreiecksungleichung aus 24 2 Banach- und Hilbert-R¨ aume (T1 + T2 )x Y ≤ T1 x + T2 x Y ≤ Y T1 X→Y + T2 X→Y x X. Sei nun Y vollst¨ andig und (Tk )k∈ eine Cauchy-Folge in L(X, Y ). F¨ ur jedes x ∈ X ist auch (Tk x) eine Cauchy-Folge in Y und hat einen Grenzwert, den wir T (x) nennen.

Dann gilt: ˜1 (0) ist kompakt ⇔ X ist endlich dimensional. B Beweis. ⇐: Im letzten Satz hatten wir gesehen, daß endlich dimensionale R¨aume hom¨oomorph zu ( n , | · |) sind. ⇒: Zu einem beliebigen x1 , x1 = 1, setze U1 = span {x1 } und x2 = x1/2 mit x1/2 aus dem Rieszschen Lemma f¨ ur U = U1 . Mit U2 = span {x1 , x2 } wird die Konstruktion fortgesetzt. Wir erhalten eine Folge (xk ) mit xk = 1 und xk − xj ≥ 1/2 f¨ ur alle j < k. Diese Folge enth¨alt offenbar keine konvergente Teilfolge. ⊓ ⊔ Dieses negative Resultat z¨ ahlt zu den entscheidenden Anst¨oßen, die zur Entwicklung der Funktionalanalysis gef¨ uhrt haben.

Ist andererseits ein Operator auf einem Banach-Raum definiert und wird er ohne Verwendung des Auswahlaxioms konstruiert, so ist er stetig. 13 (Die Dualr¨aume von lp ). 3 fort und zeigen, daß f¨ ur 1 < p < ∞ gilt lp′ ∼ = l∞ . 20 wird u ¨berdies bewiesen, daß c0 ( )′ ∼ = l1 . Sei zun¨achst 1 < p < ∞. Jedem f ∈ lp′ k¨ onnen wir mit y(i) = f (ei ) eine Zahlenfolge zuordnen, wobei ei die kanonischen Einheitsvektoren bezeichnen. Wir zeigen nun, daß die Abbildung T : f → y ein isometrischer Isomorphismus ur k → ∞ ist die Reihe T : lp′ → lq ist.

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